בחינת דוגמה
יסודות ניתוח וחיזוי סדרות עתיות — פתרונות מלאים למרצה
זהו טופס פתרונות מלא התואם בדיוק לטופס הסטודנטים. לאחר כל סעיף מופיעים התשובה הנכונה, ההסבר וחלוקת הניקוד המוצעת.
שאלה 1. שאלות קצרות עם הסבר חובה
קבעו והסבירו: האם הטענה נכונה או לא נכונה? בהסבר ציינו אילו תכונות אכן נכללות בהגדרה של רעש לבן.
רעש לבן אינו חייב להתפלג נורמלית. לפי ההגדרה שנלמדה, נדרשים תוחלת אפס, שונות סופית וקבועה, ואוטוקווריאנציה אפסית בין זמנים שונים. נורמליות היא תנאי נוסף רק במקרה של רעש לבן גאוסי.
בחרו והסבירו: איזה מודל הוא המועמד הטבעי הראשון?
במודל AR(p), פונקציית האוטוקורלציה החלקית נקטעת לאחר לאג p, ואילו פונקציית האוטוקורלציה דועכת. כאן ה־PACF נקטעת לאחר לאג 2.
בחרו והסבירו: איזו מסקנה היא המבוססת ביותר?
השערת האפס במבחן ADF היא שקיים שורש יחידה. בסדרה המקורית p-value=0.61, ולכן לא דוחים את השערת האפס. לאחר ההפרש הראשון p-value=0.02, ולכן דוחים את השערת האפס ברמת 5%. מכאן סביר לשקול d=1.
אין להסיק שסדרת ההפרשים היא בהכרח רעש לבן.
- מודל A: AIC = 510, BIC = 522, וכל המקדמים מובהקים.
- מודל B: AIC = 508, BIC = 531, ומקדם נוסף אחד אינו מובהק.
למודל B יש AIC קטן רק במעט, אך BIC גדול יותר ומקדם נוסף שאינו מובהק. מאחר שאבחון השאריות הראשוני תקין בשני המודלים, עקרון החסכנות תומך במודל A הפשוט יותר.
הסבירו: מה ניתן להסיק מן התוצאה, ומה לא ניתן להסיק על סמך המבחן הזה בלבד?
מאחר ש־p-value=0.68 גדול מ־0.05, לא דוחים את השערת האפס. עם זאת, המבחן בודק אוטוקורלציה עד לאג 12 בלבד, ולכן אינו מוכיח שהשאריות בלתי תלויות, מתפלגות נורמלית או בעלות שונות קבועה.
בחרו והסבירו: מהו ההסבר הסביר ביותר?
ההפרש הראשון כבר יצר סדרה שנראתה סטציונרית, וגם מבחן ADF תמך בכך. הפרש נוסף היה מיותר ועלול ליצור מבנה מלאכותי של MA(1) עם ערך שלילי חזק בלאג 1 ולהגדיל את השונות.
קבעו והסבירו: למה שווה התחזית הנקודתית X̂ₜ(2) לשני צעדים קדימה? אין צורך בחישובים ארוכים.
במודל MA(1) הזיכרון הוא של צעד אחד. בשני צעדים קדימה כל הזעזועים הרלוונטיים הם עתידיים ותוחלתם המותנית אפס, ולכן התחזית חוזרת לתוחלת μ.
קבעו והסבירו: על איזו עונתיות מצביע מבנה זה, ואיזו טרנספורמציה מתאימה יש לשקול?
מכיוון שמדובר בנתונים חודשיים, לאגים 12, 24 ו־36 מייצגים מרווחים של שנה, שנתיים ושלוש שנים. לכן יש לשקול הפרש עונתי בתקופה 12: Yₜ=Xₜ−Xₜ₋₁₂.
שאלה 2. זיהוי מודל לפני ואחרי חישוב הפרש ראשון
חלוקת הניקוד: 5 נקודות לכל מקבץ: נקודה לקביעת סטציונריות, נקודה לצורך בהפרש, נקודה לבחירת המודל, ושתי נקודות להסבר לפי ACF/PACF.
להלן ארבעה מקבצים בלתי־תלויים A–D. בכל מקבץ מוצגים גרפים של אותה סדרה לפני ואחרי חישוב הפרש ראשון.
ההפרש הראשון מחושב כך:
Yₜ = Xₜ − Xₜ₋₁כלומר, מכל ערך בסדרה המקורית מחסירים את הערך שקדם לו.
בכל מקבץ מוצגים שישה גרפים:
- הסדרה המקורית;
- פונקציית האוטוקורלציה (ACF) של הסדרה המקורית;
- פונקציית האוטוקורלציה החלקית (PACF) של הסדרה המקורית;
- סדרת ההפרשים הראשונים;
- פונקציית האוטוקורלציה של סדרת ההפרשים;
- פונקציית האוטוקורלציה החלקית של סדרת ההפרשים.
הגרפים הם גרפים מדגמיים, ולכן ייתכנו תנודות מקריות קטנות. יש להתבסס על המבנה הכללי: דעיכה, קטיעה, ערכים מובהקים והאם הסדרה נעה סביב רמה קבועה.
פתרו והסבירו: עבור כל מקבץ בחרו את המודל המתאים ביותר מן הרשימה. כל אחד מארבעת המודלים הנכונים מופיע פעם אחת בלבד; אפשרות אחת אינה מתאימה לשום מקבץ.
עבור כל מקבץ יש לכתוב:
- האם הסדרה המקורית סטציונרית או לא־סטציונרית;
- האם צריך לחשב הפרש ראשון;
- איזה מבנה ב־ACF וב־PACF תומך במודל שנבחר.
מקבץ A
מקבץ B
מקבץ C
מקבץ D
| מקבץ | המודל הנכון | האם צריך הפרש ראשון? |
|---|---|---|
| A | א — ARIMA(0,1,0), הילוך מקרי | כן |
| B | ב — ARIMA(1,1,0) | כן |
| C | ג — ARIMA(0,1,1) | כן |
| D | ד — AR(1) סטציונרי | לא |
מקבץ A: הסדרה המקורית אינה סטציונרית וה־ACF שלה דועכת באיטיות רבה. לאחר ההפרש הראשון אין מבנה ברור ב־ACF וב־PACF, ולכן מתקבל בקירוב רעש לבן.
מקבץ B: לאחר ההפרש הראשון ה־ACF דועכת וה־PACF נקטעת לאחר לאג 1, ולכן סדרת ההפרשים מתאימה ל־AR(1).
מקבץ C: לאחר ההפרש הראשון ה־ACF נקטעת לאחר לאג 1 וה־PACF דועכת, ולכן סדרת ההפרשים מתאימה ל־MA(1).
מקבץ D: הסדרה המקורית כבר נעה סביב רמה קבועה. ה־ACF דועכת וה־PACF נקטעת לאחר לאג 1, ולכן זהו AR(1) סטציונרי ואין צורך בהפרש.
האפשרות שאינה בשימוש: ה — MA(1) סטציונרי.
שאלה 3. פולינומים אופייניים, סטציונריות והפיכות
פתרו והסבירו: נתון המודל הבא:
(1 − 0.5B)(1 + 0.25B)Xₜ = (1 + 0.4B)Zₜ, Zₜ ~ WN(0, σ²)כאן B הוא אופרטור ההזזה לאחור, ו־Zₜ הוא רעש לבן.
השתמשו בתנאים הבאים:
- המודל סטציונרי אם כל השורשים של Φ(B)=0 נמצאים מחוץ למעגל היחידה, כלומר ערכם המוחלט גדול מ־1.
- המודל הפיך אם כל השורשים של Θ(B)=0 נמצאים מחוץ למעגל היחידה, כלומר ערכם המוחלט גדול מ־1.
- 3 נקודותקבעו את סוג המודל ואת הסדר של החלק האוטורגרסיבי ושל חלק הממוצע הנע.
- 4 נקודותכתבו את הפולינום האוטורגרסיבי Φ(B) ואת פולינום הממוצע הנע Θ(B).
- 4 נקודותמצאו את כל השורשים של Φ(B)=0 ושל Θ(B)=0.
- 5 נקודותקבעו אם המודל סטציונרי ואם הוא הפיך. נמקו בעזרת ערכי השורשים.
1. סוג המודל: ARMA(2,1).
2. הפולינומים:
3. השורשים:
- 1−0.5B=0 ⇒ B=2
- 1+0.25B=0 ⇒ B=−4
- 1+0.4B=0 ⇒ B=−2.5
4. סטציונריות: |2|>1 וגם |−4|>1, ולכן המודל סטציונרי.
5. הפיכות: |−2.5|>1, ולכן המודל הפיך.
שאלה 4. מקרה יישומי: בחירת מודל ואבחון שאריות
נתונה סדרה חודשית של ביקוש, המסומנת Xₜ. תחילה בוצעה טרנספורמציה לוגריתמית. לאחר מכן נמצא שיש צורך בהפרש ראשון אחד. הטבלה מציגה מודלי ARIMA שנאמדו עבור הסדרה הלוגריתמית המקורית; לכן בכל המודלים מופיע d = 1. כל המודלים נאמדו על אותם נתונים ובאותה תקופת זמן.
מבחן Ljung–Box הופעל על שאריות כל מודל עד לאג 12, ברמת מובהקות של 5%. השערת האפס היא שכל האוטוקורלציות של השאריות בלאגים 1–12 שוות לאפס.
| מודל | AIC | BIC | מובהקות המקדמים | Ljung–Box p-value |
|---|---|---|---|---|
| ARIMA(1,1,0) | 820 | 831 | כל המקדמים מובהקים | 0.42 |
| ARIMA(2,1,0) | 818 | 835 | המקדם האוטורגרסיבי השני אינו מובהק: p-value = 0.38 | 0.47 |
| ARIMA(1,1,1) | 817 | 837 | מקדם הממוצע הנע אינו מובהק: p-value = 0.31 | 0.03 |
למרות שלמודלים המורכבים יותר יש AIC מעט קטן יותר, ל־ARIMA(1,1,0) יש BIC קטן יותר, כל מקדמיו מובהקים והוא פשוט יותר. לכן הוא מתאים לעקרון החסכנות.
במודל זה p-value=0.03<0.05, ולכן דוחים את השערת האפס. כלומר, קיימת עדות לכך שלפחות אחת מן האוטוקורלציות של השאריות בלאגים 1–12 שונה מאפס. לכן המודל אינו עובר את מבחן Ljung–Box.
כלומר, המבחן לא מצא עדות מובהקת לכך שלפחות אחת מן האוטוקורלציות של השאריות עד אותו לאג שונה מאפס. עם זאת, הוא אינו מוכיח שהשאריות בלתי תלויות, מתפלגות נורמלית או בעלות שונות קבועה.
יש לבדוק לפחות בדיקה נוספת אחת, למשל: גרף השאריות, ACF של השאריות, QQ-plot, בדיקת שונות משתנה, או מבחן McLeod–Li לריבועי השאריות.
שאלה 5. מצאו, תקנו והסבירו
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהי המסקנה הנכונה?
קטיעה של PACF לאחר לאג 1 מצביעה על AR(1). ב־MA(1) נקטעת דווקא ה־ACF לאחר לאג 1.
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהי המסקנה הנכונה?
השערת האפס היא שקיים שורש יחידה. מאחר ש־p-value=0.01<0.05, דוחים את השערת האפס. התוצאה תומכת בסטציונריות במסגרת המפרט שנבדק.
מצאו והסבירו: מדוע המסקנה חזקה מדי?
p-value גדול במבחן Ljung–Box אומר שלא נמצאה עדות מובהקת לכך שלפחות אחת מן האוטוקורלציות של השאריות בלאגים 1–12 שונה מאפס. הוא אינו מוכיח שהמודל "מושלם", ואינו מוכיח שהשאריות בלתי תלויות, מתפלגות נורמלית או בעלות שונות קבועה.
מצאו, תקנו והסבירו: מהי הטעות ומהו סדר הפעולות הנכון?
תחילה יש לבדוק את הגרף ולייצב את השונות באמצעות טרנספורמציה, אם יש בכך צורך. לאחר מכן יש להסיר את המגמה או לטפל בשורש יחידה באמצעות הפרש מתאים, ולבדוק שוב שהסדרה סטציונרית. רק לאחר מכן בונים ACF ו־PACF של הסדרה הסטציונרית ובוחרים מועמדים ל־p ול־q.